Garoto, PeterK. Não consigo imaginar uma verdadeira fase linear e um filtro causal verdadeiramente IIR. Eu não posso ver como você obteria simetria sem que a coisa seja FIR. E, semanticamente, eu chamaria um Trunk IIR (TIIR) um método de implementação de uma classe de FIR. E então você não obtém uma fase linear, a menos que você faça a coisa filtfilt com ela, em bloco, sorta como Powell-Chau. Ndash robert bristow-johnson 26 de novembro às 15:32 Esta resposta explica como funciona o filtfilt. Ndash Matt L. 26 de novembro 15 às 7:48 Um filtro de média móvel de fase zero é um filtro FIR de comprimento ímpar com coeficientes onde N é o comprimento do filtro (estranho). Uma vez que hn tem valores não-zero para nlt0, não é causal e, conseqüentemente, ele só pode ser implementado adicionando um atraso, ou seja, tornando-o causal. Observe que você não pode simplesmente usar a função Matlabs filtfilt com esse filtro porque, mesmo que você obtenha uma fase zero (com um atraso), a magnitude da função de transferência de filtros fica ao quadrado, correspondendo a uma resposta de impulso triangular (ou seja, amostras de entrada mais distantes do Amostra atual recebe menos peso). Esta resposta explica com mais detalhes o que o filtfilt faz. Guia de cientistas e engenheiros para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 19: Filtros recursivos Existem três tipos de resposta de fase que um filtro pode ter: fase zero. Fase linear. E fase não-linear. Um exemplo de cada um destes é mostrado na Figura 19-7. Conforme mostrado em (a), o filtro de fase zero é caracterizado por uma resposta de impulso que é simétrica em torno da amostra zero. A forma real não importa, apenas que as amostras numeradas negativas são uma imagem espelhada das amostras numeradas positivas. Quando a transformada de Fourier é tomada dessa forma de onda simétrica, a fase será inteiramente zero, conforme mostrado em (b). A desvantagem do filtro de fase zero é que requer o uso de índices negativos, o que pode ser inconveniente para trabalhar. O filtro de fase linear é uma maneira de contornar isso. A resposta de impulso em (d) é idêntica à mostrada em (a), exceto que foi transferida para usar apenas amostras numeradas positivas. A resposta ao impulso ainda é simétrica entre a esquerda e a direita no entanto, a localização da simetria foi deslocada de zero. Esta mudança resulta na fase, (e), sendo uma linha reta. Contabilizando o nome: fase linear. A inclinação desta linha reta é diretamente proporcional à quantidade da mudança. Uma vez que a mudança na resposta ao impulso não produz mais que uma mudança idêntica no sinal de saída, o filtro de fase linear é equivalente ao filtro de fase zero para a maioria dos propósitos. A figura (g) mostra uma resposta de impulso que não é simétrica entre a esquerda e a direita. Correspondentemente, a fase, (h), não é uma linha reta. Em outras palavras, ele tem uma fase não-linear. Não confunda os termos: fase não linear e linear com o conceito de linearidade do sistema discutido no Capítulo 5. Embora ambos usem a palavra linear. Eles não estão relacionados. Por que alguém se importa se a fase for linear ou não Figuras (c), (f), e (i) mostre a resposta. Estas são as respostas de pulso de cada um dos três filtros. A resposta ao pulso não é mais do que uma resposta passo a passo positiva, seguida de uma resposta passo a passo negativa. A resposta de pulso é usada aqui porque exibe o que acontece tanto nas bordas em ascensão como na queda em um sinal. Aqui está a parte importante: filtros de fase zero e linear têm bordas esquerda e direita que se parecem iguais. Enquanto os filtros de fase não-linear têm bordas esquerda e direita que se parecem diferentes. Muitas aplicações não podem tolerar as bordas esquerda e direita, aparecendo diferentes. Um exemplo é a exibição de um osciloscópio, onde essa diferença pode ser mal interpretada como uma característica do sinal que está sendo medido. Outro exemplo é o processamento de vídeo. Você pode imaginar ligar a sua TV para encontrar a orelha esquerda do seu ator favorito diferente da orelha direita. É fácil fazer um filtro FIR (filtro de resposta finito) com uma fase linear. Isso ocorre porque a resposta ao impulso (kernel de filtro) é especificada diretamente no processo de design. Fazer o kernel do filtro ter simetria esquerda-direita é tudo o que é necessário. Este não é o caso dos filtros IIR (recursivos), uma vez que os coeficientes de recursão são o que é especificado, e não a resposta ao impulso. A resposta de impulso de um filtro recursivo não é simétrica entre a esquerda e a direita e, portanto, tem uma fase não linear. Circuitos eletrônicos analógicos têm o mesmo problema com a resposta de fase. Imagine um circuito composto por resistores e capacitores sentados em sua mesa. Se a entrada sempre foi zero, a saída também será sempre zero. Quando um impulso é aplicado à entrada, os capacitores carregam rapidamente para algum valor e começam a diminuir exponencialmente através dos resistores. A resposta ao impulso (isto é, o sinal de saída) é uma combinação destes vários exponenciais exponentes de decomposição. A resposta ao impulso não pode ser simétrica, porque a saída foi zero antes do impulso, e a decomposição exponencial nunca atingiu novamente o valor zero. Os criadores de filtros analógicos atacam esse problema com o filtro Bessel. Apresentado no Capítulo 3. O filtro Bessel foi concebido para ter a fase linear possível, no entanto, está muito abaixo do desempenho dos filtros digitais. A capacidade de fornecer uma fase linear exata é uma clara vantagem dos filtros digitais. Felizmente, existe uma maneira simples de modificar filtros recursivos para obter uma fase zero. A Figura 19-8 mostra um exemplo de como isso funciona. O sinal de entrada a ser filtrado é mostrado em (a). A figura (b) mostra o sinal depois de ter sido filtrada por um filtro passa-baixa de um único pólo. Uma vez que este é um filtro de fase não-linear, as bordas esquerda e direita não parecem iguais, são versões invertidas umas das outras. Conforme descrito anteriormente, este filtro recursivo é implementado começando na amostra 0 e trabalhando em direção à amostra 150, calculando cada amostra ao longo do caminho. Agora, suponha que em vez de se mover da amostra 0 para a amostra 150, começamos na amostra 150 e avançamos em direção à amostra 0. Em outras palavras, cada amostra no sinal de saída é calculada a partir de amostras de entrada e saída à direita da amostra trabalhada em. Isso significa que a equação de recursão, Eq. 19-1, é alterado para: Figura (c) mostra o resultado dessa filtragem inversa. Isso é análogo ao passar um sinal analógico através de um circuito RC eletrônico enquanto o tempo de execução está para trás. Esrevinu eht pu-wercs nac lasrever emite - noituaC O filtro na direção inversa não produz qualquer benefício em si mesmo, o sinal filtrado ainda possui bordas esquerda e direita que não se parecem. A magia acontece quando a filtragem para frente e para trás é combinada. A Figura (d) resulta da filtragem do sinal na direção direta e, em seguida, filtra-se novamente na direção inversa. Voila Isso produz um filtro recursivo de fase zero. Na verdade, qualquer filtro recursivo pode ser convertido em fase zero com esta técnica de filtragem bidirecional. A única penalidade para este desempenho melhorado é um fator de dois em tempo de execução e complexidade do programa. Como você encontra as respostas de impulso e freqüência do filtro geral A magnitude da resposta de freqüência é a mesma para cada direção, enquanto as fases são opostas no signo. Quando as duas direções são combinadas, a magnitude torna-se quadrada. Enquanto a fase cancela para zero. No domínio do tempo, isso corresponde a convolver a resposta de impulso original com uma versão invertida para a esquerda para a direita. Por exemplo, a resposta de impulso de um filtro passa-baixa de um único pólo é um exponencial unilateral. A resposta ao impulso do filtro bidirecional correspondente é uma exponencial unilateral que desdobra para a direita, convolvida com uma exponencial unilateral que decaia para a esquerda. Passando pela matemática, isso resulta ser um exponencial de dupla face que decaia tanto para a esquerda quanto para a direita, com a mesma constante de decaimento que o filtro original. Algumas aplicações têm apenas uma parte do sinal no computador em um momento específico, como sistemas que alternadamente entrem e fornecem dados de forma contínua. A filtragem bidirecional pode ser usada nestes casos, combinando-o com o método de sobreposição adicionado descrito no último capítulo. Quando você vem à questão de quanto tempo a resposta de impulso é, não diga infinito. Se você fizer isso, você precisará preencher cada segmento de sinal com um número infinito de zeros. Lembre-se, a resposta ao impulso pode ser truncada quando se deteriorou abaixo do nível de ruído de arredondamento, isto é, cerca de 15 a 20 constantes de tempo. Cada segmento precisará ser preenchido com zeros na esquerda e direita para permitir a expansão durante a filtragem bidirecional. Guia de cientistas e engenheiros para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 10: Propriedades da Transformação de Fourier Características da Fase Na forma matemática: se xn harr MagX f amp PhaseX f, então uma mudança no domínio do tempo resulta em: xns 8596 MagX f amp PhaseX f 2pi sf (onde f é expresso como uma fração Da taxa de amostragem, correndo entre 0 e 0,5). Em palavras, uma mudança de s amostras no domínio do tempo deixa a magnitude inalterada, mas adiciona um termo linear à fase, 2960 sf. Vamos ver um exemplo de como isso funciona. A Figura 10-3 mostra como a fase é afetada quando a forma de onda do domínio do tempo é deslocada para a esquerda ou para a direita. A magnitude não foi incluída nesta ilustração porque não é interessante que ela não seja alterada pelo turno do domínio do tempo. Nas Figs. (A) através de (d), a forma de onda é gradualmente deslocada de ter o pico centrado na amostra 128, para que seja centrado na amostra 0. Esta seqüência de gráficos leva em consideração que o DFT vê o domínio do tempo como circular quando partes do Saída de onda para a direita, eles reaparecem à esquerda. A forma de onda do domínio do tempo na Fig. 10-3 é simétrico em torno de um eixo vertical, isto é, os lados esquerdo e direito são imagens espelhadas umas das outras. Conforme mencionado no Capítulo 7, os sinais com este tipo de simetria são chamados de fase linear. Porque a fase de seu espectro de freqüência é uma linha reta. Da mesma forma, os sinais que não possuem essa simetria esquerda-direita são chamados de fase não-linear. E tem fases que são algo diferente de uma linha reta. As figuras (e) a (h) mostram a fase dos sinais em (a) a (d). Conforme descrito no Capítulo 7, esses sinais de fase são desembrulhados. Permitindo que apareçam sem as descontinuidades associadas ao manter o valor entre 960 e -960. Quando a forma de onda do domínio do tempo é deslocada para a direita, a fase continua a ser uma linha reta, mas experimenta uma diminuição na inclinação. Quando o domínio do tempo é deslocado para a esquerda, há um aumento na inclinação. Esta é a principal propriedade que você precisa lembrar desta seção, uma mudança no domínio do tempo corresponde à alteração da inclinação da fase. As figuras (b) e (f) exibem um caso único onde a fase é inteiramente zero. Isso ocorre quando o sinal do domínio do tempo é simétrico em torno da amostra zero. À primeira vista, esta simetria pode não ser óbvia em (b) pode parecer que o sinal é simétrico em torno da amostra 256 (isto é, N 2). Lembre-se de que o DFT vê o domínio do tempo como circular, com a amostra zero inerentemente conectada à amostra N -1. Qualquer sinal simétrico em torno da amostra zero também será simétrico em torno da amostra N 2 e vice-versa. Ao usar membros da família Transformada de Fourier que não visualizam o domínio do tempo como periódico (como o DTFT), a simetria deve ser em torno da amostra zero para produzir uma fase zero. As figuras (d) e (h) mostram algo de um enigma. Primeiro, imagine que (d) foi formado deslocando a forma de onda em (c) um pouco mais para a direita. Isso significa que a fase em (h) teria uma inclinação ligeiramente mais negativa do que em (g). Esta fase é mostrada como linha 1. Em seguida, imagine que (d) foi formado começando com (a) e deslocando-o para a esquerda. Neste caso, a fase deve ter uma inclinação ligeiramente mais positiva do que (e), como é ilustrado pela linha 2. Por fim, observe que (d) é simétrico em torno da amostra N 2 e, portanto, deve ter uma fase zero, como ilustrado por Linha 3. Qual dessas três fases está correta, todas elas, dependendo de como as ambiguidades de fase 960 e 2960 (discutidas no Capítulo 8) são organizadas. Por exemplo, cada amostra na linha 2 difere da amostra correspondente na linha 1 por um múltiplo inteiro de 2960, tornando-os iguais. Para relacionar a linha 3 com as linhas 1 e 2, as ambiguidades 960 também devem ser levadas em consideração. Para entender por que a fase se comporta como faz, imagine deslocando uma forma de onda por uma amostra à direita. Isso significa que todos os sinusoides que compõem a forma de onda também devem ser deslocados por uma amostra à direita. A Figura 10-4 mostra dois sinusoides que podem ser parte da forma de onda. Em (a), a onda senoidal tem uma freqüência muito baixa, e uma mudança de amostra é apenas uma fração pequena de um ciclo completo. Em (b), o sinusoide tem uma freqüência de metade da taxa de amostragem, a maior freqüência que pode existir nos dados amostrados. Uma mudança de amostra a esta frequência é igual a um ciclo inteiro de 12, ou 960 radianos. Ou seja, quando uma mudança é expressa em termos de uma mudança de fase, ela se torna proporcional à frequência da deslocação do sinusoide. Por exemplo, considere uma forma de onda simétrica em torno da amostra zero e, portanto, tem uma fase zero. A Figura 10-5a mostra como a fase desse sinal muda quando é deslocada para a esquerda ou para a direita. Na maior freqüência, metade da taxa de amostragem, a fase aumenta em 960 para cada mudança de amostra para a esquerda e diminui em 960 para cada mudança de amostra para a direita. Na freqüência zero, não há mudança de fase, e todas as freqüências entre seguem em linha reta. Todos os exemplos que utilizamos até agora são fase linear. A Figura 10-5b mostra que os sinais de fase não-linear reagem a deslocamento da mesma maneira. Neste exemplo, a fase não linear é uma linha reta com dois pulsos retangulares. Quando o domínio do tempo é deslocado, esses recursos não-lineares são simplesmente sobrepostos à inclinação em mudança. O que acontece nas partes reais e imaginárias quando a forma de onda do domínio do tempo é deslocada. Recorde que os sinais de domínio de freqüência em notação retangular são quase impossíveis de compreender humanos. As partes reais e imaginárias geralmente se parecem com oscilações aleatórias sem padrão aparente. Quando o sinal do domínio do tempo é deslocado, os padrões viciosos das partes reais e imaginárias tornam-se ainda mais oscilantes e difíceis de interpretar. Não desperdice seu tempo tentando entender esses sinais, ou como eles são alterados pelo deslocamento do domínio do tempo. A Figura 10-6 é uma demonstração interessante de quais informações estão contidas na fase. E quais informações estão contidas na magnitude. A forma de onda em (a) tem duas características muito distintas: uma margem ascendente no número de amostra 55 e uma borda de queda no número de amostra 110. As bordas são muito importantes quando a informação é codificada na forma de uma forma de onda. Uma vantagem indica quando algo acontece, dividindo o que quer que esteja na esquerda, seja o que for à direita. É informação codificada no domínio do tempo na sua forma mais pura. Para iniciar a demonstração, o DFT é tomado do sinal em (a), e o espectro de freqüência convertido em notação polar. Para encontrar o sinal em (b), a fase é substituída por números aleatórios entre -960 e 960, e o DFT inverso usado para reconstruir a forma de onda do domínio do tempo. Em outras palavras, (b) baseia-se apenas na informação contida na magnitude. De forma semelhante, (c) é encontrado substituindo a magnitude por pequenos números aleatórios antes de usar a DFT inversa. Isso faz com que a reconstrução de (c) baseia-se exclusivamente nas informações contidas na fase. O resultado As posições das arestas estão claramente presentes em (c), mas totalmente ausentes em (b). Isso ocorre porque uma borda é formada quando muitos sinusoides se elevam no mesmo local, apenas quando suas fases são coordenadas. Em suma, grande parte da informação sobre a forma da forma de onda do domínio do tempo está contida na fase. Em vez da magnitude. Isso pode ser contrastado com os sinais que têm suas informações codificadas no domínio da freqüência, como os sinais de áudio. A magnitude é mais importante para esses sinais, com a fase desempenhando apenas um papel menor. Em capítulos posteriores, veremos que esse tipo de entendimento fornece estratégias para projetar filtros e outros métodos de processamento de sinais. Compreender como a informação é representada nos sinais é sempre o primeiro passo no DSP bem sucedido. Por que a simetria esquerda-direita corresponde a uma fase zero (ou linear) A Figura 10-7 fornece a resposta. Esse sinal pode ser decomposto em uma metade esquerda e uma metade direita, como mostrado em (a), (b) e (c). A amostra no centro da simetria (zero neste caso) é dividida igualmente entre as metades esquerda e direita, permitindo que os dois lados sejam imagens espelhadas perfeitas umas das outras. As magnitudes dessas duas metades serão idênticas. Como mostrado em (e) e (f), enquanto as fases serão opostas no signo, como em (h) e (i). Dois conceitos importantes caem fora disto. Em primeiro lugar, cada sinal simétrico entre a esquerda e a direita terá uma fase linear porque a fase não linear da metade esquerda cancela exatamente a fase não linear da metade direita. Em segundo lugar, imagine lançar (b) de tal forma que se torne (c). Esse flip esquerdo-direito no domínio do tempo não faz nada para a magnitude, mas muda o sinal de cada ponto na fase. Da mesma forma, mudar o sinal da fase dispara o sinal do domínio do tempo para a esquerda para a direita. Se os sinais forem contínuos, o flip é em torno de zero. Se os sinais são discretos, o flip é em torno de amostra zero e amostra N 2, simultaneamente. Alterar o sinal da fase é uma operação comum o suficiente para que seja dado seu próprio nome e símbolo. O nome é uma conjugação complexa. E é representado colocando uma estrela na parte superior direita da variável. Por exemplo, se X f consiste em MagX f e PhaseX f, então X f é chamado de conjugado complexo e é composto por MagX f e - PhaseX f. Na notação retangular, o conjugado complexo é encontrado deixando a parte real sozinha, e alterando o signo da parte imaginária. Em termos matemáticos, se X f é composto de ReX f e ImX f, então X f é composto de ReX f e - ImX f. Aqui estão vários exemplos de como o conjugado complexo é usado no DSP. Se x n tiver uma transformada de Fourier de Xf, então x - n tem uma transformada de Fourier de X 8727 f. Em palavras, lançar o domínio do tempo para a esquerda para a direita corresponde a mudar o sinal da fase. Como outro exemplo, retire do Capítulo 7 que a correlação pode ser realizada como uma convolução. Isso é feito ao lançar um dos sinais para a esquerda para a direita. Em forma matemática, a n b n é convolução, enquanto que n b - n é correlação. No domínio da frequência, estas operações correspondem a A f vezes B f e A f vezes B f, respectivamente. Como o último exemplo, considere um sinal arbitrário, x n e seu espectro de freqüência, X f. O espectro de freqüência pode ser alterado para zero fase, multiplicando-o pelo seu conjugado complexo, isto é, X f vezes X f. Em palavras, qualquer fase X f acontecerá será cancelada adicionando o seu oposto (lembre-se, quando os espectros de freqüência são multiplicados, suas fases são adicionadas). No domínio do tempo, isso significa que x n x-n (um sinal convolvido com uma versão virada para a esquerda e para a direita) terá simetria esquerda-direita em torno da amostra zero, independentemente do que seja x n. Para muitos engenheiros e matemáticos, esse tipo de manipulação é DSP. Se você quiser se comunicar com este grupo, acostume-se a usar seu idioma.
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